Rod (matematik)

For alternative betydninger, se Rod. (Se også artikler, som begynder med Rod)

I matematik er en rod af en funktion f et element x i funktionens definitionsmængde, hvorom der gælder, at

f(x) = 0.

Hvis funktionen afbilder de reelle tal i de reelle tal, kaldes de punkter, hvor funktionens graf skærer x-aksen, for nulpunkter. En funktions rødder er således 1.-koordinater til funktionens nulpunkter, men ofte bruges ordene rødder og nulpunkter synonymt.

Ordet rod kan også henvise til et tal på formen a^1/n (hvilket er roden i polynomiet xⁿ-a) såsom kvadratroden eller andre rødder.

Eksempel

Betragt polynomiet f : R → R givet ved følgende formel:

f(x)=x^{2}-5x+6\,

Tallet 3 er rod i polynomiet, idet $f(3)=3^{2}-5\cdot 3+6=0\,.$

Rødder i polynomier

Der er foretaget omfattende matematisk forskning for at finde rødder af forskellige funktioner - specielt polynomier.

Alle reelle polynomier af ulige grad har mindst et reelt tal som rod, hvorimod mange reelle polynomier af lige grad ikke har reelle rødder.

Hvis P betegner et polynomium, så er x=r rod i polynomiet netop hvis der findes en faktorisering $P(x)=(x-r)\cdot Q(x)$ , hvor Q er et polynomium af grad 1 lavere en graden af P. Kendskab til et polynomiums rødder giver dermed vigtig information om strukturen af et polynomium. En rod r siges at have multiplicitet m, dersom P kan skrives på formen $P(x)=(x-r)^{m}\cdot Q(x)$ . Algebraens fundamentalsætning siger, at ethvert polynomium af grad n har n komplekse rødder regnet med multipliciteter. Disse ikke-reelle rødder af reelle polynomier kommer i konjugerede par. De komplekse tal blev udviklet for at håndtere rødder af anden- og tredjegradsligninger med negative diskriminanter (det vil sige de, der fører til udtryk med kvadratrødder af negative tal.)

Den n'te rod

Uddybende artikel: N'te rod

Hvis x>0 og n er et naturligt tal defineres den n'te rod af x ved ${\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}$ . Den n'te rod er således en potensfunktion, der er den inverse funktion til funktionen $f(x)=x^{n}$ . Den n'te rod er den positive løsning til ligningen $t^{n}=x$ . Hvis n=2 taler man om kvadratrod og hvis n=3 taler man om kubikrod.

Den n'te rod af 0 er nul. Hvis n er et ulige tal og x<0, er $-(-x)^{1/n}$ den entydigt bestemte løsning til ligningen $t^{n}=x$ , så man definerer ${\sqrt[{n}]{x}}=-(-x)^{1/n}$ .

Riemanns formodning

Et af de vigtigste uløste problemer i matematikken omhandler placeringen af rødderne i Riemanns zetafunktion.

Se også